Распределение напряжений в грунтовом массиве по глубине

Введение

Решение подобной задачи не является чем-то новым в механике грунтов. В том или ином виде похожие задачи не раз решали многие авторы, в том числе и для расчетов давления грунтов на подпорные стенки, крепи горных выработок, etc. В настоящее время для решения подобных задач широко применяются методы конечных элементов и соответствующее программное обеспечение. Данная же статья имеет не столько прикладную, сколько образовательную цель - еще раз последовательно разобрать физику (и математику) подобных расчетов на примере конкретной задачи.

Постановка задачи

Вывести зависимость напряжений от глубины в массиве несцементированного грунта, решив задачу предельного равновесия для тела (части массива) цилиндрической формы.

Обзор литературы

Основные понятия и физические величины, которыми оперирует статья, изложены, например, в учебнике "Грунтоведение" под редакцией В.Т. Трофимова [1].

В книге Н.А. Цитовича "Механика грунтов" [2] в разделе "Теории давления грунтов на ограждения" рассматривается схожая задача определения давления грунтов на высокие параллельные и с замкнутыми контурами стенки. При этом, представленный в настоящей статье расчет по целому ряду моментов будет отличаться от озвученного, например: в статье рассматривается тело цилиндрической формы, имеется начальное давление на верхнюю плоскость, etc.

Основная часть

Силы, действующие на элемент цилиндра грунта с бесконечно малой толщиной $\mathrm{d}h$

Собственный вес грунта

где:

• $F_{z,g}$ - сила, действующая вниз по оси $z$ и обусловленная собственным весом элемента цилиндра грунта, $Н$;
• $\rho$ - плотность грунта, $кг/м^3$;
• $g$ - ускорение свободного падения, $м/с^2$;
• $\mathrm{d}h$ - бесконечно малая ($\mathrm{d}h \to 0$) толщина элемента цилиндра грунта, $м$;
• $\pi$ - писло $\pi$, постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру;
• $D$ - диаметр цилиндра грунта, $м$.

Сила давления на верхнюю плоскость

где:

• $F_{z,top}$ - сила, действующая вниз по оси $z$ на верхнюю плоскость элемента цилиндра грунта и обусловленная соответствующим нормальным напряжением, $Н$;
• $\sigma_z$ - нормальное напряжение по оси $z$ на верхней плоскости элемента цилиндра грунта, $Па$ или $Н/м^2$.

Сила давления на нижнюю плоскость

где:

• $F_{z,bott}$ - сила, действующая вверх по оси $z$ на нижнюю плоскость элемента цилиндра грунта и обусловленная соответствующим нормальным напряжением, $Н$;
• $\mathrm{d}\sigma_z$ - разница между нормальным напряжением по оси $z$ на верхней и на нижней плоскостях элемента цилиндра грунта, $Па$ или $Н/м^2$.

Сила давления на боковую поверхность

Напряжения в массиве связаны (в общем случае) следующим соотношением:

где:

• $\sigma_x$ и $\sigma_y$ - нормальные напряжения по осям $x$ и $y$ на боковой поверхности элемента цилиндра грунта, $Па$ или $Н/м^2$;
• $\xi$ - коэффициент бокового распора (или бокового отпора).

На $\mathrm{d}h$ нормальные напряжения по оси $z$ меняется в интервале от $\sigma_z$ до $\sigma_z + \mathrm{d}\sigma_z$. Так как $\mathrm{d}h \to 0$, зависимость приращения напряжений от глубины на данном отрезке можно расссматривать как линейную:

где $\langle \sigma_x \rangle$ и $\langle \sigma_y \rangle$ - осредненные на $\mathrm{d}h$ (вдоль образующей) соответствующие нормальные напряжения.

Отсюда:

где $F_{xy}$ - сила, действующая по осям $x$ и $y$ на боковую поверхность элемента цилиндра грунта и обусловленная соответствующими нормальными напряжениями, $Н$

Сила сопротивления трению на боковой поверхности

с учетом (4.1) и (4.2):

таким образом:

где:

• $F_{z,\tau}$ - сила, действующая по оси $z$ на боковую поверхность элемента цилиндра грунта и обусловленная соответствующими касательными напряжениями, $Н$;
• $\langle \tau_{zx} \rangle$ и $\langle \tau_{zy} \rangle$ - осредненные на $\mathrm{d}h$ (вдоль образующей) касательные напряжения по оси $z$ (к нормальным напряжениям по осям $x$ и $y$ соответственно) на боковой поверхности элемента цилиндра грунта, $Па$ или $Н/м^2$;
• $с$ - удельное сцепление, $Па$ или $Н/м^2$;
• $\varphi$ - угол внутреннего трения, град.

Уравнение равновесия по оси z для элемента цилиндра грунта с толщиной $\mathrm{d}h$

подставим (1) - (3) и (5) в (6):

или:

при этом, значение $\mathrm{d}\sigma_z \cdot \mathrm{d}h$ даже после объединения (интегрирования) всех элемнтов с бесконечно малой толщиной $\mathrm{d}h$ останется малой величиной, что позволяет нам пренебречь данным слагаемым:

или:

обозначим:

и:

получим:

При $A = B \cdot \sigma_z$ приращение напряжений на $\mathrm{d}h$ отсутствует ($\mathrm{d}\sigma_z = 0$), в этом случае:

подставив (7) и (8), получим:

При $A \ne B \cdot \sigma_z$ приращение напряжений на $\mathrm{d}h$ присутствует ($\mathrm{d}\sigma_z \ne 0$), в этом случае (9) можно записать в виде:

Зависимость нормальных напряжений по оси z от глубины ($\sigma_z = f(h)$)

Найдем зависимость нормальных напряжений по оси z от глубины ($\sigma_z = f(h)$) решив дифференциальное уравнение (9.2) для начальных условий ($\sigma_{z,0}, h_0$).

Уравнение (9.2) представляет из себя ОДУ с разделяющимися переменными:

левую часть проинтегрируем, в правой части подведем выражение $A - B \cdot \sigma_z$ под знак дифференциала:

проинтегрируем правую часть:

или:

или:

таким образом:

общее решение:

Решим задачу Коши, найдя частное решение, удовлетворяющее начальному условию ($\sigma_{z,0}, h_0$):

тогда:

подставим полученную константу ($C_4$) в общее решение (10):

или:

таким образом, частное решение:

подставим (7) и (8) в (11):

или:

Выводы

Зависимость нормальных напряжений по оси z от глубины в массиве несцементированного грунта (полученная в ходе решения задачи предельного равновесия для тела цилиндрической формы) имеет вид:

где:

• $\sigma_z$ - нормальное напряжение по оси $z$ в исследуемой точке, $Па$ или $Н/м^2$;
• $h$ - глубина от поверхности в исследуемой точке, $м$;
• $\sigma_{z,0}$ - начальное нормальное напряжение по оси $z$, $Па$ или $Н/м^2$;
• $h_0$ - начальная глубина от поверхности, $м$;
• $\rho$ - плотность грунта, $кг/м^3$;
• $g$ - ускорение свободного падения, $м/с^2$;
• $D$ - диаметр цилиндра грунта, $м$;
• $с$ - удельное сцепление, $Па$ или $Н/м^2$;
• $\varphi$ - угол внутреннего трения, град;
• $\xi$ - коэффициент бокового распора (или бокового отпора).

Список литературы

[1]: Грунтоведение / Под ред. В.Т.Трофимова. - М.: Изд-во МГУ, 2005.

[2]: Цытович Н.А. Механика грунтов. - М.: Госстройиздат, 1963.